Ашветия родился в Кутаиси и начинал карьеру в местном «Торпедо». Михаил быстро зарекомендовал себя в качестве грозного бомбардира, наколотив 54 мяча в 55 матчах. Отыграв год в «Алании», Ашветия вернулся в Грузию и перешёл в тбилисское «Динамо», где снова забивал чуть ли не в каждом матче — 49 голов в 57 играх.
Футболистом «Локомотива» Ашветия стал в 2003 году. За нашу команду грузинский форвард отыграл не так много, но болельщикам запомнился, в первую очередь голами «Интеру», «Спартаку» и дублем в ворота «Шахтёра».
— Самый хороший период в карьере был в «Локомотиве». Нормально отыграл и в «Алании». Но самый лучший — всё-таки «Локомотив». Это был пик формы, к тому же стал чемпионом страны. После этого и травмы были, год пропустил. Лучший матч — против донецкого «Шахтёра» в 2003 году. С «Интером» тоже хороший, но это уже групповой этап, а с «Шахтёром» решалось, попадём ли мы вообще в групповой этап или не попадём, — рассказывал Михаил.
В составе «Локомотива» Ашветия стал чемпионом России в 2004 году и выиграл Суперкубок страны в 2005-м.
