Кверквелия родился 6 февраля 1992 года в городе Самтредиа в Грузии. В футбол Соломона отдал его отец, который был ярым болельщиком. С семи лет Кверквелия играл в местной команде «Глория», а в 13 переехал в Тбилиси, где занимался сначала в школе «Динамо», а затем в академии Тенгиза Сулаквелидзе.
В 2009 году футболист попал на просмотр в «Зенит» и подписал контракт с петербургским клубом, но выступал только за молодёжную команду. После одного из матчей «Зенита» против молодёжки «Рубина» на Кверквелию обратили внимание казанские селекционеры и пригласили его к себе в команду.
За основной состав рубиновых футболист дебютировал 17 июля 2011 года в матче 1/16 финала Кубка России с екатеринбургским «Уралом». Именно в казанской команде защитник провёл свой первый матч в Премьер-лиге, а также дебютировал в еврокубках. Всего за «Рубин» Кверквелия отыграл 111 матчей и забил три мяча.
В то время Соломон выступал за юношескую и молодёжную сборную Грузии, а 5 марта 2014 года дебютировал и за главную команду страны.
В феврале 2017-го защитник перешёл из «Рубина» в «Локомотив», тогда ещё на правах аренды до конца сезона, и взял себе 33-й игровой номер. После трансфера Саба говорил: «Локомотив» — большой вызов для меня, шаг вперёд. Из разговора с главным тренером Юрием Сёминым я понял, как мы будем работать, в какой роли он меня видит. Вера тренера окрыляет. В ближайшее время приступаю к тренировкам с командой, постараюсь сразу же влиться в коллектив. У меня самые приятные воспоминания о стадионе. Я много раз играл здесь против «Локо», и атмосфера всегда была праздничная, футбольная. Будет интересно ощутить себя в Черкизово как дома».
А 30 июня 2017 года подписал полноценный контракт с клубом на четыре года. В итоге грузинский защитник провёл за нашу команду 108 матчей и забил 4 мяча. В составе «Локомотива» Кверквелия стал обладателем четырёх титулов: чемпион России (2017/18), двукратный обладатель Кубка России (2016/17, 2018/19) и обладатель Суперкубка страны (2019). Запомнился мощный футболист, прежде всего, своей неуступчивостью, заряженностью на победу и важными голами. Например, в первом же туре — «Арсеналу» из Тулы на «РЖД Арене». Дал старт тому великолепному триумфальному сезону.
Конечно, не стоит забывать и о его вкладе в чемпионство на протяжении всего игрового года — тогда именно он был одним из ключевых творцов большой победы. Это отметили и фанаты: по результатам сезона-2017/18 объединение болельщиков «Локо» United South признало Кверквелию лучшим игроком.
[list]Летом 2021 года Соломон отправился за игровой практикой в волгоградский «Ротор» — аренда была рассчитана на сезон. А в июне 2021-го у Кверквелии закончился контракт с «Локо», после чего в карьере спортсмена были украинский «Металлист 1925», грузинская «Гагра» и азербайджанский «Нефтчи», в котором он играет и по сей день.
С днём рождения, Саба!
